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2013年数学高考总复*重点精品课件:双曲线 69张

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走向高考·数学
人教B版 ·高考一轮总复*
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

走向高考 ·高考一轮总复* ·人教B版 ·数学
第八章 *面解析几何
第八章 *面解析几何

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第八章
第五节 双 曲 线
第八章 *面解析几何

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基础梳理导学

3 考点典例讲练

思想方法技巧

4 课堂巩固训练

5 课后强化作业

第八章 第五节

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基础梳理导学
第八章 第五节

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重点难点 引领方向 重点:双曲线定义、标准方程与几何性质. 难点:双曲线几何性质的应用和求双曲线方程.
第八章 第五节

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夯实基础 稳固根基 1.双曲线的定义 *面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
第八章 第五节

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2.双曲线的标准方程与几何性质 标准方程 ax22-by22=1(a>0,b>0) ay22-bx22=1(a>0,b>0)
图形
第八章 第五节

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焦点 焦距 范围 对称性 性 顶点 质

离心率
渐*线

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

|F1F2|=2c

c2=a2+b2

|x|≥a,y∈R

|y|≥a,x∈R

关于 x 轴、y 轴 和原点对称

(-a,0),(a,0)

(0,-a),(0,a)

实轴长 2a ,虚轴长 2b

e=ac (e>1)

ax±by=0(或 y=±bax)

bx±ay=0(或 y=±abx)

第八章 第五节

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3.双曲线的形状与 e 的关系:∵双曲线渐*线的斜率 k=ba= c2a-a2= ac22-1= e2-1,∴e 越大,则渐*线 的斜率的绝对值就越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐 变得开阔.故双曲线的离心率越大,它的开口就越宽阔.
第八章 第五节

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4.基础三角形如图,△AOB 中,|OA|=a,|AB|=b, |OB|=c,tan∠AOB=ba,△OF2D 中,|F2D|=b.
第八章 第五节

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5.共渐*线的双曲线系方程: 与双曲线ax22-by22=1 有相同渐*线的双曲线系方程可 设为ax22-by22=λ(λ≠0),若 λ>0,则双曲线的焦点在 x 轴上; 若 λ<0,则双曲线的焦点在 y 轴上.
第八章 第五节

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疑难误区 点拨警示 1.注意双曲线的几何量 a、b、c 关系是 c2=a2+b2 应与椭圆区别.双曲线的离心率 e>1,而椭圆的离心率 0<e<1. 2.在双曲线有关计算和证明中,要分清焦点在哪个 轴上,不知道焦点位置时要分类讨论,或直接设双曲线方 程为 Ax2+By2=1(AB<0),据方程判断焦点的位置时,也 要注意与椭圆的区别.椭圆看 a 与 b 的大小,双曲线看 x2、y2 系数的正负.
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3.解决与双曲线上的点有关问题时,有时候还要区 分点在哪支上.
在双曲线的定义式||MF1|-|MF2||=2a 中,有两点要注 意:一是 2a<|F1F2|.当 2a=|F1F2|时,轨迹是直线 F1F2 上 以 F1、F2 为端点向外的两条射线;当 2a>|F1F2|时,动点 轨迹不存在.二是含绝对值号,当|MF1|-|MF2|=2a 时, 曲线仅表示焦点 F2 所在一侧的一支;当|MF1|-|MF2|=- 2a 时,曲线仅表示焦点 F1 所在一侧的一支.
第八章 第五节

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4.双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的渐*线方程为 y=±ba x,而双曲线ay22-bx22=1(a>0,b>0)的渐*线方程为 y=±ab x(即 x=±bay)应注意其区别与联系.
5.*行于双曲线的渐*线的直线与双曲线有且仅有 一个交点.
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思想方法技巧
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一、数学思想的应用 1.在双曲线的几何性质的讨论中,要注意方程思想的应 用. 2.求双曲线的方程,离心率等,常常要讨论焦点在哪个 轴上. 3.求取值范围的问题、最值问题要注意函数思想的应用. 4.圆锥曲线的大部分题目,结合图形分析更有利于思路 的打通.
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二、解题技巧 1.巧设双曲线方程 (1)已知双曲线上两点坐标,可设双曲线方程为 mx2+ny2 =1(mn<0). (2)若所求双曲线与ax22-by22=1 有公共渐*线,或者已知其 渐*线方程为 y=±bax,可设其方程为ax22-by22=λ(λ≠0).
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(3)若双曲线与椭圆ax22+by22=1(a>b>0)的焦点相同,则可设 其方程为a2x-2 λ+b2y-2 λ=1(b2<λ<a2).
2.求双曲线的标准方程时,要注意区分焦点在哪个轴上, 主要采用待定系数法.
3.焦点弦、焦点三角形问题,要注意双曲线定义的应用 和正余弦定理的应用.
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考点典例讲练
第八章 第五节

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双曲线的定义

[例 1] 已知两圆 C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2

=2,动圆 M 与两圆 C1、C2 都相切,则动圆圆心 M 的轨迹方

程是( )

A.x=0

B.x22-1y42 =1(x≥ 2)

C.x22-1y42 =1

D.x22-1y42 =1 或 x=0

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解析:如下图,动圆 M 与两圆 C1、C2 都相切,有四种情 况:①动圆 M 与两圆都相外切,②动圆 M 与两圆都相内切; ③动圆 M 与圆 C1 外切、与圆 C2 内切. ④动圆 M 与圆 C1 内切、 与圆 C2 外切. 在①②的情况下,显然,动圆圆心 M 的轨迹方 程为 x=0;在③的情况下,设动圆 M 的半径为 r,则
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|MC1|=r+ 2,|MC2|=r- 2, 故得|MC1|-|MC2|=2 2;在④的情况下,同理得|MC2|- |MC1|=2 2, 由③④得|MC1|-|MC2|=±2 2, 根据双曲线定义,可知点 M 的轨迹是以 C1(-4,0)、C2(4,0) 为焦点的双曲线,且 a= 2,c=4,b=c2-a2=14,其方程为 x22-1y42 =1. 由①②③④可知选 D. 答案:D
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点评:要注意在“分类讨论思想”指导下利用双曲线的定 义.
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( 文 )(2011·山 东 实 验 中 学 期 末 ) 已 知 双 曲 线 的 两 个 焦 点 为

F1(- 10,0),F2( 10,0),M 是此双曲线上的一点,且M→F1·M→F2

=0,|M→F1|·|M→F2|=2,则该双曲线的方程是( )

A.x92-y2=1

B.x2-y92=1

C.x32-y72=1

D.x72-y32=1

第八章 第五节

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解析:由条件知,M→F1⊥M→F2,∴|M→F1|2+|M→F2|2=|F→1F2|2 =(2 10)2=40,

(|

→ MF1

|



|

→ MF2

|)2



|

→ MF1

|2



|

→ MF2

|2



2|

→ MF1

→ |·| MF2

|



40



2|M→F1|·|M→F2|=36, ∴||MF1|-|MF2||=6=2a,∴a=3,又 c= 10, ∴b2=c2-a2=1,∴双曲线方程为x92-y2=1.

答案:A

第八章 第五节

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(理)设 P 是双曲线 x2-y32=1 的右支上的动点,F 为双曲 线的右焦点,已知 A(3,1),则|PA|+|PF|的最小值为______.
第八章 第五节

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解析:设双曲线的另一个焦点为 F′,则有 F′(-2,0), 由双曲线的定义知|PF′|-|PF|=2. ∵|PA|+|PF|=|PA|+(|PF′|-2) ≥|AF′|-2= 26-2, ∴|PA|+|PF|的最小值为 26-2. 答案: 26-2
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双曲线的标准方程 [例 2] 根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)与双曲线x42-y32=1 有共同的渐*线,且过点(2,2 3); (2)与双曲线1x62 -y92=1 有公共焦点,且过点(-3 2,4).
第八章 第五节

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分析:(1)与双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)共渐*线的双曲 线方程可设为ax22-by22=λ(λ≠0),λ>0 时表示焦点在 x 轴上,λ<0 时表示焦点在 y 轴上,再结合其它条件可求 λ.
(2)与双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)共焦点的双曲线方程可 设为mx22-ny22=1(m>0,n>0),此时有 m2+n2=a2+b2,再结合 其它条件,确定待定系数 m,n 即可.
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解析:(1)设所求双曲线方程为x42-y32=λ(λ≠0),将点(2,2 3) 代入得 λ=-3,所以双曲线方程为y92-1x22 =1.
(2)设双曲线方程为ax22-by22=1,由题意易求 c=5. 又双曲线过点(-3 2,4),∴?-3a2 2?2-4b22=1. 又∵a2+b2=25,∴a2=9,b2=16. 故所求双曲线的方程为x92-1y62 =1.
第八章 第五节

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点评:1.求双曲线的方程,关键是求 a、b,在解题过程中 应熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系,并注意方程思想的应 用. 若已知双曲线的渐*线方程 ax±by=0,可设双曲线方程为 a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
第八章 第五节

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2.与双曲线ax22-by22=1 有相同焦点的双曲线方程可设为

a2-x2 m-

b2+y2 m=

1.如本题设所



双曲线方程为

x2 16-m

-9+y2m

=1,∵点(-3 2,4)在双曲线上,∴161-8 m-9+16m=1,∴m =7 或-34,∵(16-m)(9+m)>0,∴m=7,故双曲线方程为x92 -1y62 =1.

第八章 第五节

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(文)(2011·安徽合肥市质检)渐*线是 2x- 3y=0 和 2x+ 3y

=0,且过点(6,6)的双曲线的标准方程是( )

A.x32-y42=1

B.y42-x32=1

C.x92-1y22 =1

D.1y62 -1x22 =1

第八章 第五节

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解析:由渐*线方程知,可设双曲线的标准方程为x32-y42= λ,把点(6,6)代入得 λ=3.
所求方程为x92-1y22 =1,故选 C. 答案:C
第八章 第五节

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(理)(2012·湖南文,6)已知双曲线 C:ax22-by22=1 的焦距为

10,点 P(2,1)在 C 的渐*线上,则 C 的方程为( )

A.2x02 -y52=1 C.8x02 -2y02 =1

B.x52-2y02 =1 D.2x02 -8y02 =1

第八章 第五节

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解析:因为双曲线焦距为 10,所以 52=a2+b2,双曲线渐* 线方程 y=±bax,点 P(2,1)在直线 y=bax 上,则ba=12,所以 a2=20, b2=5,选 A.
答案:A
第八章 第五节

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[例 3] 设 θ 是三角形的一个内角,且 sinθ+cosθ=15,则方

程sixn2θ+coys2θ=1 所表示的曲线为(

)

A.焦点在 x 轴上的椭圆

B.焦点在 y 轴上的椭圆

C.焦点在 x 轴上的双曲线

D.焦点在 y 轴上的双曲线

第八章 第五节

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解析:由条件知 sinθ·cosθ=-1225,且 θ∈(0,π),从而 sinθ>0, cosθ<0,故选 C.
答案:C
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点评:椭圆与双曲线两种曲线类型的判断决定于 x2、y2 的系数.本题中关键是要能判断出 sinθ 和 cosθ 的符号,从条 件易知,只要将 sinθ+cosθ=15两边*方转化为 sinθ 和 cosθ 的 乘积就很容易得出需要的结果了.
第八章 第五节

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若 k∈R,则方程k-x24+k+y25=1 表示焦点在 y 轴上的双曲

线的充要条件是( )

A.-5<k<4

B.k<-5

C.k<-5 或 k>4 D.k>4

第八章 第五节

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解析:由题意可知,?????kk- +45<>00, . ∴-5<k<4. 答案:A
第八章 第五节

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双曲线的几何性质

[例 4] (文)(2011·福州质检)若双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0) 的焦点到其渐*线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率

为( )

A. 5

B.5

C. 2

D.2

第八章 第五节

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解析:焦点(c,0)到渐*线 y=bax 的距离为 ab2+c b2=b,则 由题意知 b=2a,又 a2+b2=c2,∴5a2=c2,
∴离心率 e=ac= 5. 答案:A
第八章 第五节

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(理)在正三角形 ABC 中,点 D、E 分别是 AB、AC 的中点,

则以 B、C 为焦点,且过 D、E 的双曲线的离心率为( )

5 A. 3

B. 3-1

C. 2+1

D. 3+1

第八章 第五节

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解析:设正三角形 ABC 边长为 1,则 2c=BC=1,2a=CD

-BD= 23-12.

∴离心率

e=ac=

1= 23-12

3+1.

答案:D

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(文)(2011·北京文,10)已知双曲线 x2-by22=1(b>0)的一条渐 *线的方程为 y=2x,则 b=________.
第八章 第五节

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解析:∵双曲线 x2-by22=1 的渐*线方程为 y=±bx. ∵b>0,渐*线为 y=2x,∴b=2. 答案:2
第八章 第五节

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(理)已知双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的渐*线方程为 y=

± 33x,若顶点到渐*线的距离为 1,则双曲线的方程为( )

A.x42-34y2=1

B.34x2-y42=1

C.x42-y42=1

D.x42-43y2=1

第八章 第五节

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解析:由渐*线方程为

y=±

3 3x

知,ba=

33,

∴a= 3b,①

又顶点到渐*线距离为 1,

∴ a|b2+a| b2=1,②

由①②得,a=2,b=233,∴选 A.

答案:A

第八章 第五节

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综合应用

[例 5] (文)双曲线 C:x2-y42=1,过点 P(1,1)作直线 l, 使 l 与 C 有且仅有一个公共点,则满足上述条件的直线 l 共

有( )

A.1 条

B.2 条

C.3 条

D.4 条

第八章 第五节

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解析:过点 P 与双曲线相切的直线及与渐*线*行的直 线各有两条.故选 D.
答案:D
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(理)双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1、 F2,过 F1 作倾斜角为 30°的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为( )

A. 6 C. 2

B. 3 3
D. 3

第八章 第五节

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解析:在直角△MF1F2 中,∠F1F2M=90°,∠MF1F2=30°, |F1F2|=2c,于是|M2Fc1|=cos30°= 23,|M2Fc2|=tan30°= 33,从 而有|MF1|=4 3 3c,|MF2|=2 3 3c,代入|MF1|-|MF2|=2a,得2 3 3 c=2a,故 e=ac= 3,故选 B.
答案:B
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(



)(2012·皖

















)









线

x2 a2



y2 b2



1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且斜率为 33的直线与双曲

线的渐*线*行,则此双曲线离心率是( )

23 A. 3 C.2

B. 3 D.2 3

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解析:由条件知ba= 33,∴ba22=13, 又 b2=c2-a2,∴c2-a2a2=13,∴ac22=43, ∴e=ac=23 3,故选 A. 答案:A
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(理)(2011·江西省会昌、山东烟台模拟)已知双曲线ax22-by22

=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合,且双

曲线的离心率等于 5,则该双曲线的方程为( )

A.5x2-45y2=1

B.x52-y42=1

C.y52-x42=1

D.5x2-54y2=1

第八章 第五节

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解析:抛物线的焦点 F(1,0),即 c=1.

??a2+b2=1, 根据题意得???e=ac= 5.

解得????a= 55,

???b=2

5

5 .

故选 D.

答案:D

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课堂巩固训练
第八章 第五节

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一、选择题

1.(2012·石家庄质检)已知中心在原点,焦点在 y 轴上的

双曲线的离心率为 5,则它的渐*线方程为( )

A.y=±2x

B.y=±

5 2x

C.y=±12x

D.y=± 6x

[答案] C

第八章 第五节

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[解析] 设双曲线的方程为ay22-bx22=1(a>0,b>0),∵e=ac= 5,c= a2+b2,∴ a2+a2 b2= 1+?ba?2= 5,∴ba=2,∴ 双曲线的渐*线方程为 y=±12x,故选 C.
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2.(2012·深圳调研)已知抛物线 y2=8x 的准线 l 与双曲线

C:ax22-y2=1 相切,则双曲线 C 的离心率 e=(

)

3 A. 2

5 B. 2

23 C. 3

25 D. 5

[答案] B

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[解析] 依题意得,直线 x=-2 与双曲线 C 相切,结合

图形得,|a|=2,双曲线 C 的离心率 e=

a|2a+| 1=

5 2.

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3.(2012·山西四校联考)已知双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)

的离心率为 2,一个焦点与抛物线 y2=16x 的焦点相同,则双

曲线的方程为( )

A.x22-y62=1

B.x62-y22=1

C.1x22 -y42=1

D.x42-1y22 =1

[答案] D

第八章 第五节

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[解析] 抛物线 y2=16x 的焦点坐标是(4,0),于是有

?? a2+b2=4,

? ??

a2a+b2=2,

由此解得 a2=4,b2=12,故双曲线的方程是

x42-1y22 =1,选 D.

第八章 第五节

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二、填空题 4.(文)(2011·江西文,12)若双曲线1y62 -xm2=1 的离心率 e =2,则 m=________. [答案] 48 [解析] ∵ 164+m=2,∴m=48.
第八章 第五节

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(理)已知中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐* 线为 mx-y=0,若 m 为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值, 则使得双曲线的离心率大于 3 的概率是________.

[答案]

7 9

第八章 第五节

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[解析] 由题意知双曲线方程可设为 m2x2-y2=1,从而 e = m2+1>3,∵m>0,∴m>2 2,故所求概率是79,故填79.
第八章 第五节

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课后强化作业(点此链接)
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