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【全国百强校】湖北宜昌市第一中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题

发布时间:

宜昌市第一中学 2015 年秋季学期高一年级期中考试 数 学
命题:孙红波




满分:150 分

审题:余信欢

考试时间:120 分钟

★祝考试顺利★
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项。 1.已知集合 A ? ?1,3,5? , B ? ?2, a, b? ,若 A ? B ? ?1,3? ,则 a ? b 的值为 A. 4 2.函数 f ( x) ? A. (??, ?1) B. 7 C. 9 D. 10

1 ? lg(1 ? x) 的定义域是 1? x
B. (1, ??) C. (?1,1) ? (1, ??) D. (??, ??)

3.下列各组函数中表示同一函数的是 A. f ( x) ? x 与 g ( x) ? ( x )2 C. f ( x) ? ln e 与 g ( x) ? e
x ln x

B. f ( x) ?| x | 与 g ( x) ? 3 x3 D. f ( x) ?

x2 ?1 与 g ( x) ? x ? 1( x ? 1) x ?1

4.下列函数中,在区间 (0, ??) 为增函数的是 A. y ? ( x ? 1)
2

B. y ?

x ?1

C. y ? 2

?x

D. y ? log0.5 ( x ? 1)

5.如图给出四个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应是

A.① y ? x 3 ② y ? x

1

2

③ y ? x2 ④ y ? x
1

1

?1

B.① y ? x 3 ② y ? x 2 ③ y ? x

1

1

2

④y?x

?1

C.① y ? x2 ② y ? x3 ③ y ? x 2 ④ y ? x ?1

D.① y ? x3 ② y ? x2 ③ y ? x 2 ④ y ? x ?1

1

6.若非空数集 A ? ?x | 2a ?1 ? x ? 3a ? 5? , B ? ?x | 3 ? x ? 22? ,则能使 A ? B 成立的所有 a 的
高一数学试题 第1页 共4页

集合是 A. ?a |1 ? a ? 9? B. ?a | 6 ? a ? 9? C. ?a | a ? 9? D. ?

7.定义域为 R 的函数 y ? f ( x) 的值域为 ? a, b? ,则函数 y ? f ( x ? a) 的值域为 A. ? a, b? B. ? 2a, a ? b? C. ?0, b ? a? D. ? ?a, a ? b?

8.我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求。音量大小的单位是分贝

(dB) ,对于一个强度为 I 的声波,其音量的大小? 可由如下公式计算:? ? 10 ? lg

I (其中 I 0 是人 I0

耳能听到的声音的最低声波强度),设?1 ? 70dB 的声音强度为 I1 ,?2 ? 60dB 的声音强度为 I 2 , 则 I1 是 I 2 的

A.

7 倍 6

7

B. 10 倍

C. 106 倍

D. ln

7 倍 6

9.定义两种运算: a ? b ? a2 ? b2 , a ? b ?

(a ? b) 2 ,则函数 f ( x) ?

2? x 的解析式为 ( x ? 2) ? 2

A. f ( x) ?

x2 ? 4 , x ? ? ??, ?2? ? ? 2, ??? x x2 ? 4 , x ? ? ??, ?2? ? ? 2, ?? ? x
x?m

4 ? x2 B. f ( x) ? , x ? ? ?2, 0? ? ? 0, 2? x
D. f ( x) ? ?

C. f ( x) ? ?

4 ? x2 , x ? ? ?2, 0? ? ? 0, 2? x

10.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? 2 则 a, b, c 的大小关系为 A. a ? b ? c

? 1为偶函数, a ? f (log0.5 3), b ? f ?log2 5? , c ? f ?2m? ,

B. a ? c ? b

C. c ? a ? b

D. c ? b ? a

11.如图,面积为 8 的*行四边形 OABC ,对角线 AC ? CO , AC 与 BO 交 于点 E ,某指数函数 y ? a x ? a ? 0, 且a ? 1? ,经过点 E , B ,则 a ? A. 2 C. 2 B. 3 D. 3

12.由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪,直到 1872 年,德国数学家戴德金提出了“戴德金 分割” ,才结束了持续 2000 多年的数学史上的第一次大危机。所谓戴德金分割,是指将有理数集

Q 划分为两个非空的子集 M 与 N ,且满足 M ? N ? Q , M ? N ? ? , M 中的每一个元素都
小于 N 中的每一个元素,则称 ? M , N ? 为戴德金分割。试判断,对于任一戴德金分割 ? M , N ? , 下列选项中不可能成立的是

高一数学试题

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A. M 没有最大元素, N 有一个最小元素 C. M 有一个最大元素, N 有一个最小元素

B. M 没有最大元素, N 也没有最小元素 D. M 有一个最大元素, N 没有最小元素

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答 错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 13.设 x, y , z 都是非零实数, 给出集合 M ? ?m | m ?

? ? ? ?

? x y xy ? ? ? , x, y ? R ? ,则用列举法表示这个 x y xy ? ?

集合是__________________________. 14.函数 f ( x) ?

? x 2 ? 4 x ? 5 的单调递减区间为
2? m 2

. .

15.已知函数 f ( x) ? x

是定义在 [?3 ? m, m ? m] 上的奇函数,则 f (m) ?

16.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是 ?1?C ,空气的温度是 ?0?C , t min 后物体的 温度 ? C 可由公式 ? ? ?0 ? ??1 ??0 ? e?0.24t 求得. 把温度是 100 C 的物体, 放在 10 C 的空气中冷
? ? ?

? 却 t min 后,物体的温度是 40 C ,那么 t 的值约等于

。(保留三位有效数字,参考数

据: ln 3 取 1.099 , ln 2 取 0.693 )

三、解答题:本大题共 6 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本题满分 10 分) (1)计算: 2
1 2

1 log 2 4

? 8 ? ?? ? ? 27 ?
1 2

?

2 3

? lg

1 ? ( 2 ? 1)lg1 100

(2)已知 x ? x

?

x 2 ? x ?2 ? 2 ? 3 ,求 的值. x ? x ?1 ? 3

18 . ( 本 题 满 分 10 分 ) 设 集 合 A ? ? x x是小于6的正整数? , B ? x ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,

?

?

C ? ? x (m ? 1) x ? 1 ? 0? ;
(1)求 A ? B , A ? B ;
高一数学试题 第3页 共4页

(2)若 B ? C ? C ,求由实数 m 为元素所构成的集合 M .

19 . ( 本 题 满 分 12 分 ) 设 函 数 f ( x) ? loga x?a ? 0且a ? 1? , 函 数 g ( x) ? ? x2 ? bx ? c , 且

f ( 4 )? f ( 2 ? ) , 1 g ( x) 的图像过点 A(4, ?5) 及 B(?2, ? 5) .
(1)求 f ( x) 和 g ( x) 的表达式; (2)求函数 f ?g ?x ?? 的定义域和值域.

20. (本题满分 12 分) 已知幂函数 f ( x) ? (m ? 1) x
2

m2 ? 4 m ? 2

在 (0, ??) 上单调递增, 函数 g ( x) ? 2 ? k .
x

(1)求 m 的值; (2)当 x ? [1, 2] 时,记 f ( x) 、 g ( x) 的值域分别为集合 A 、 B ,若 A ? B ? A ,求实数 k 的取 值范围.

2 21. (本题满分 12 分)已知集合 A ? x x | ( x ? a) ? ? x ? (a ? 1) ? ? ? 0 , B ? ?x y ? 2 x ? x ? ?
2

?

?

?

1

5 ? ,0 ? x ? 3? . 2 ?
(1)若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围;
高一数学试题 第4页 共4页

(2)当 a 取使得不等式 x ? 1 ? ax 恒成立的 a 的最小值时,求 (CR A) ? B .
2

22. (本题满分 14 分)已知定义在区间 ? 0, ?? ? 上的函数 f ? x ? ? t ( x ? ) ? 5 ,其中常数 t ? 0 . (1)若函数 f ? x ? 分别在区间 (0, 2),(2, ??) 上单调,试求 t 的取值范围; (2)当 t ? 1 时,方程 f ? x ? ? m 有四个不相等的实根 x1 , x2 , x3 , x4 . ①证明: x1 x2 x3 x4 ? 16 ; ②是否存在实数 a , b ,使得函数 f ? x ? 在区间 ? a, b? 单调,且 f ? x ? 的取值范围为 ? ma, mb? , 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

4 x

高一数学试题

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宜昌一中 2015---2016 学年度高一年级上学期期中考试

数学试题参考答案
一、选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 D 6 B 7 A 8 B 9 D 10 C 11 A 12 C

二、填空题 13. ??3, ?1,3? 14. ? 2,5? 15. ?1 16. 4.58

三、解答题 17.(1)原式 ? (2) x ? x

1 2 ?2 1 9 ? ( ) ? 2 ? 1 ? ? ? 1 ? ?3 4 3 4 4

5分

?1

? ( x ? x ) ? 2 ? 32 ? 2 ? 7
( x ? x ?1 ) 2 ? 4 7 2 ? 4 ? ? 15 x ? x ?1 ? 3 7?4
10 分

1 2

?

1 2 2

则原式 ?

18.(1) A ? ? x x是小于6的正整数? ? ?1, 2,3, 4,5? , B ? ?1,2?

A ? B ? ?1,2? , A ? B ? ?1, 2,3, 4,5?
(2)? B ? C ? C ,? C ? B 当 C ? ? 时,此时 m ? 1 ,符合题意 当 C ? ? 时, m ? 1 ,此时 C ? ? x x ?

5分

7分

? ?

1 ? ? m ? 1?

? C ? B ,?

1 3 ? 1或2 ;解得: m ? 2或 m ?1 2

综上所述:实数 m 为元素所构成的集合 M ? ?1, 2, ?

? ?

3? 2?

10 分

19.(1)由 f (4) ? f (2) ? 1 得 loga 4 ? log a 2 ? 1

高一数学试题

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即 log a

4 ? log a 2 ? 1 2

∴a ? 2 解得 ?

2分

? ?42 ? 4b ? c ? ?5 又由题意得 ? 2 ??(?2) ? 2b ? c ? ?5
∴ f ?x? ? log2 x

?b ? 2 ?c ? 3

4分

g ?x ? ? ? x 2 ? 2 x ? 3

6分

2 (2) f ? ? g ? x ?? ? ? log 2 (? x ? 2 x ? 3)

2 由 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 得 ?1 ? x ? 3

8分 9分

∴f ? ? g ? x ?? ? 的定义域为 (?1,3)
2 2 又f ? ? g ? x ?? ? ? log 2 (? x ? 2 x ? 3) ? log 2 ? ? ?( x ? 1) ? 4 ? ?

∵ x ? (?1,3)

∴f ? ? g ? x ?? ? ? log 2 4 ? 2

11 分 12 分

∴f ? ? g ? x ?? ? 的值域为 ? ??, 2?

2 20.(1)∵ f ( x ) 为幂函数 ∴ (m ?1) ? 1 ? m ? 0 或 2

2分 3分

当 m ? 0 时, f ( x) ? x 在 (0, ??) 上单调递增,满足题意
2 ?2

当 m ? 2 时, f ( x) ? x 在 (0, ??) 上单调递减,不满足题意,舍去 4 分 ∴m ? 0 (2)由(1)知, f ( x) ? x
2

5分

∵ f ( x ) 、 g ( x) 在 ?1, 2? 上单调递增 ∴ A ? ?1, 4? B ? ?2 ? k ,4 ? k ? 8 分 ∵ A? B ? A ∴? ∴B ? A 10 分

?2 ? k ?1 ? 0 ? k ?1 ?4 ? k ? 4
12 分

故实数 k 的取值范围为 A ? ?0,1?

21. A ? {x | x ? a ? 1 或 x ? a}
2

2分

又y?

1 2 5 1 x ? x ? ? ( x ? 1) 2 ? 2 2 2 2

高一数学试题

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∵0 ? x ? 3

∴2 ? y ? 4

∴ B ? ? y | 2 ? y ? 4? ∴ 3 ? a ? 2或 a ? ? 3

4分

? a2 ? 1 ? 4 (1)∵ A ? B ? ? ∴ ? ?a ? 2
(2)由 x ? 1 ? ax 得 x ? ax ? 1 ? 0
2 2

6分

依题意 ? ? a ? 4 ? 0
2

则 ?2 ? a ? 2

∴ a 的最小值为 ?2

8分 10 分 11 分 12 分

当 a ? ?2 时, A ? {x | x ? 5 或 x ? ?2} ∴ CR A ? ?x | ?2 ? x ? 5? ∴ (CR A) ? B ? ?x | 2 ? x ? 4?

22.(1)设 h( x) ? t ( x ? ) ∵t ? 0 ∴函数 h ? x ? 分别在区间 (0, 2),(2, ??) 上单调 且 h( x) ? 4t

4 x

要使函数 f ? x ? 分别在区间 (0, 2),(2, ??) 上单调 则只需 4t ? 5 ? 0 ? t ?

5 4

4分

(2)①当 t ? 1 时, ( x ? ) ? 5 ? m ? ( x ? ) ? 5 ? m 或 ( x ? ) ? 5 ? ? m 即 x ? (m ? 5) x ? 4 ? 0 或 x ? (m ? 5) x ? 4 ? 0
2 2

4 x

4 x

4 x

∵ x1 , x2 , x3 , x4 为方程 f ? x ? ? m 的四个不相等的实根 ∴由根与系数的关系得 x1 x2 x3 x4 ? 4 ? 4 ? 16 ②如图,可知 0 ? m ? 1 , f ( x ) 在 (0,1) 、 (1, 2) 、 (2, 4) 、 (4, ??) 均为单调函数 (i)当 ?a, b? ? ? 0,1? 时, f ( x ) 在 ? a, b? 上单调递减 则? 8分

? f (a) ? mb 两式相除整理得 (a ? b)(a ? b ? 5) ? 0 ? f (b) ? ma
∴上式不成立 即 a , b 无解, m 无取值 10 分

∵ a, b ? ? 0,1?

高一数学试题

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(ii)当 ?a, b? ? ?1,2? 时, f ( x ) 在 ? a, b? 上单调递增 则?

? f (a) ? ma 4 5 即 m ? ? 2 ? ? 1 在 a ? ?1, 2? 有两个不等实根 a a ? f (b) ? mb
4 5 5 9 1 ?1 ? ? t ? ? ,1? 则 ? 2 ? ? 1 ? ? (t ) ? ?4(t ? ) 2 ? a a 8 16 a ?2 ?

而令

作 ? (t ) 在 ? ,1? 的图像可知,

?1 ? ?2 ?

1 9 ?m? 2 16

12 分

(iii)当 ?a, b? ? ? 2,4? 时, f ( x ) 在 ? a, b? 上单调递减 则?

? f (a) ? mb 两式相除整理得 (a ? b)(a ? b ? 5) ? 0 ? f (b) ? ma
5 2

∴ a ? b ? 5 ∴b ? 5 ? a ? a ∴2 ? a ?

4 由 ? a ? ? 5 ? mb 得 m ? a

4 4 ? 1? 5 25 5?a a(a ? 5) (a ? ) 2 ? 2 4 4 5?a ? a 应有两个不同的解 则 m 关于 a 的函数是单调的,而 m ? 5?a
∴此种情况无解 (iiii)当 ? a, b? ? ?4, ??? 时,同(i)可以解得 m 无取值 综上, m 的取值范围为 ? , 13 分

5?a ?

4 a ? 1?

?1 9 ? ? ? 2 16 ?

14 分

高一数学试题

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