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2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步2.3.3空间两点间的距离公式高效测评北师大版必修2资料

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2016-2017 学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.3.3 空间两点间 的距离公式高效测评 北师大版必修 2
(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.设点 B 是点 A(2,-3,5)关于 xOy *面的对称点,则|AB|等于( A.10 C. 38 B. 10 D.38 )

解析: 方法一:A 到 xOy *面的距离为 5,B 到 xOy *面的距离也是 5,故|AB|=10, 方法二:B 点坐标为(2,-3,-5),代入距离公式求解. 答案: A 2.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若 D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0),A1(4,0,3),则对 角线 AC1 的长为( A.9 C.5 ) B. 29 D.2 6

解析: 由已知求得 C1(0,2,3),∴|AC1|= 29. 答案: B 3. 在空间直角坐标系中, 设 A(1,2, a), B(2,3,4), 若|AB|= 3, 则实数 a 的值是( A.3 或 5 C.3 或-5
2

)

B.-3 或-5 D.-3 或 5
2 2

解析: 由题意得|AB|= ?1-2? +?2-3? +?a-4? = 3,解得 a=3 或 5, 故选 A. 答案: A 4.已知 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x 的值为( A.19 C. 8 7
2

)

8 B.- 7 19 D. 14
2 2

解析: |AB|= ?x-1? +?3-2x? +?3x-3? = 14x -32x+19, -32 8 ∴当 x=- = 时,|AB|最小. 2×14 7 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
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1

5.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2),B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐标是__________. 解析: 设 M 的坐标为(0,y,0),由|MA|=|MB|得(0-1) +(y-0) +(0-2) =(0-1) +(y+3) +(0-1) , 整理得 6y+6=0, ∴y=-1,即点 M 的坐标为(0,-1,0). 答案: (0,-1,0)
2 2 2 2 2 2

?3 5 ? 6.已知 P? , ,z?到直线 AB 中点的距离为 3,其中 A(3,5,-7),B(-2,4,3),则 z ?2 2 ?
=________. 解析: 利用中点坐标公式

?1 9 ? 则 AB 中点 C? , ,-2?,|PC|=3, 2 2 ? ?


?3-1?2+?5-9?2+[z-?-2?]2=3, ?2 2? ?2 2? ? ? ? ?

解得 z=0 或 z=-4. 答案: 0 或-4 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.在 xOy *面内的直线 2x-y=0 上确定一点 M,使它到点 P(-3,4,5)的距离最小,并 求出最小值. 解析: ∵点 M 在 xOy *面内的直线 2x-y=0 上, ∴设点 M 的坐标为(a,2a,0), 则|MP|= ?a+3? +?2a-4? +5
2 2 2 2 2

= 5a -10a+50= 5?a-1? +45. ∴当 a=1 时,|MP|取最小值 3 5, 此时 M(1,2,0). ∴M 坐标为(1,2,0)时,|PM|最小,最小值为 3 5. 8.

三棱锥各顶点的坐标分别为:A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,3),试求该三棱

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锥的体积. 解析: 由已知可得 AP⊥*面 ABC, 且 BA⊥AC, 又|AB|=1,|AC|=2,|AP|=3, 1 1 ∴V= × ×1×2×3=1, 3 2 即该三棱锥体积为 1. ? 尖子生题库 ?☆☆☆ 9.(10 分)如图,以正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,点 P 在 正方体的对角线 AB 上,点 Q 在正方体的棱 CD 上.

(1)当点 P 为对角线 AB 的中点,点 Q 在棱 CD 上运动时,探究|PQ|的最小值; (2)当点 Q 为棱 CD 的中点,点 P 在对角线 AB 上运动时,探究|PQ|的最小值. 解析: 设正方体的棱长为 a. (1)当点 P 为对角线 AB 的中点时,

? ? 点 P 的坐标是? , , ?. ?2 2 2?
a a a
∵点 Q 在线段 CD 上,设 Q(0,a,z). ∴|PQ|= =

?a?2+?a-a?2+?z-a?2 ?2? ?2 ? ? 2? ? ? ? ? ? ?

?z-a?2+1a2. ? 2? 2 ? ?

a 2 当 z= 时,|PQ|的最小值为 a. 2 2
即点 Q 在棱 CD 的中点时, |PQ|有最小值 2 a. 2

3

(2)当 Q 为 CD 的中点时,

a? z 2a- 2x ? Q?0,a, ?,设 P 的坐标为(x,y,z),则由三角形相似可得 = , 2 a ? ? 2a
则 z=a-x.

? ?2 2 2 2 ∴|PQ| =x +(x-a) +? -x? ?2 ?
a
5 2 ? a?2 a 2 =3x -3ax+ a =3?x- ? + . 4 ? 2? 2
2

a 2 当 x= 时,|PQ|最小为 a, 2 2

? ? 此时 P? , , ?为 AB 的中点. ?2 2 2?
a a a

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