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高三数学一轮总复* 第二章 函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数名师课件

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第二章 函数、导数及其应用

第四节 二次函数与幂函数

课前学案 基础诊断

课堂学案 考点通关

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1.了解幂函数的概念;结合函数

y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x

1 2

考 纲 的图象,了解它们的变化情况。

导 学 2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间

的关系解决简单问题。

课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测

1.常用幂函数的图象与性质

y=x

y=x2

y=x3

1
y=x 2

y=x-1

图象

{x|x∈R
定义域 □1 __R____ □2 ___R___ □3 ___R___ □4 __[0_,__+__∞__)__ □5 ____且__x_≠__0_}__

(-∞,0)
值域 □6 __R____ □7 [_0_,__+__∞__) □8 ____R__ □9 __[0_,__+__∞__)_ □10 __∪__(0_,__+__∞__)_

奇偶性 □11 _奇__函__数_ □12 _偶__函__数_ □13 __奇__函__数 □14非__奇__非__偶__函_数_ □15 ___奇__函_数______

单调性

在R上

在(-∞,0]上 递减,在[0,

在R上

□16 _递__增___ □17 _+_∞_)_递_增___ □18 _递__增___

在(-∞,0)

在[0,+∞)

和(0,+∞)上

□19 _上__递__增_____ □20 __递__减___□2_1_(_1,_1_)

定点

□21 ______(1_,_1_)_______

2.二次函数的表示形式
(1)一般式:y=□22 _a_x_2_+__b_x_+__c_(a_≠__0_)_; (2)顶点式:y=□23 __a_(_x_-__h_)2_+__k_(_a_≠__0_) _______,其中□24 _(_h_,__k_)____为抛物线顶
点坐标;
(3)零点式:y=□25 __a_(x_-__x_1_)_(x_-__x_2_) __,其中 x1、x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标。

3.二次函数的图象及其性质 a>0

a<0

图象

定义域 值域

□26 ______R____________ □27 _____R___________

□28 ___???4_a_c_4-_a_b_2_,__+__∞__???__

□29 _???_-_∞ __,__4_a_c_4-_a_b_2_???__

对称轴
顶点 坐标 奇偶性

a>0

a<0

□30 _____x_=__-__2b_a_________

???-2ba,4ac4-a b2??? b=0?y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数

单调性

x∈□31 __???_-__∞__,__-__2b_a_???___是 x∈□34 __???-__2_ba_,__+__∞__???__

减函数

是增函数

4ac-b2
x∈□32 ___4_a_____是增函数

x∈□35 __???_-__∞__,__-__2b_a_???_

是减函数

最值

当 x=-2ba时,
ymin=□33 __???_-__2ba_,__+__∞_???_

当 x=-2ba时,
ymax=□36 __4_a_c4_-a__b2___

1 个注意点——二次函数的二次项系数 在研究二次函数时,要注意二次项系数对函数性质的影响,往往需要对二次项系 数分大于零与小于零两种情况讨论。
2 个条件——一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是???ba2>-04,ac<0。 (2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是???ba2<-04,ac<0。

2 种方法——二次函数图象对称轴的判断方法
(1)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(x1)=f(x2),那么函数 y=f(x)的 图象关于 x=x1+2 x2对称。
(2)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件 是函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称(a 为常数)。

3 种形式——二次函数表达式的三种形式
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)。 (2)顶点式:y=a(x+h)2+k(其中 a≠0,顶点坐标为(-h,k))。 (3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(其中 a≠0,x1、x2 是二次函数与 x 轴的两个交点的 横坐标)。

1.已知点

?
M?
?

33,3???在幂函数

f(x)的图象上,则

f(x)的表达式为(

)

A.f(x)=x2

B.f(x)=x-2

1
C.f(x)=x 2

D.f(x)=x

解析:设

f(x)=xα,则

3=??
?

33???α,∴α=-2。即

f(x)=x-2,故选

B。

答案:B

2.如图中曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图象。已知 n 取±2,±12四个值, 则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 n 值依次为( )
A.-2,-12,12,2 B.2,12,-12,-2 C.-12,-2,2,12 D.2,12,-2,-12
解析:由幂函数图象及其单调性之间的关系可知,曲线 C1,C2,C3,C4 所对应 的 n 依次为 2,12,-12,-2,故选 B。
答案:B

3.函数 f(x)=(m-1)x2+2mx+3 为偶函数,则 f(x)在区间(-5,-3)上( )

A.先减后增

B.先增后减

C.单调递减

D.单调递增

解析:因为 f(x)=(m-1)x2+2mx+3 为偶函数,所以 2m=0,即 m=0,所以 f(x) =-x2+3。
由二次函数的单调性可知,f(x)=-x2+3 在(-5,-3)上为增函数,故选 D。 答案:D

4.已知 f(x)=4x2-mx+5 在[2,+∞)上是增函数,则实数 m 的取值范围是 __________。
解析:因为函数 f(x)=4x2-mx+5 的单调递增区间为???m8 ,+∞???,所以m8 ≤2,即 m≤16。
答案:(-∞,16]

5.设函数 f(x)=mx2-mx-1,若 f(x)<0 的解集为 R,则实数 m 的取值范围是 __________。
? m<0, 解析:当 m=0 时,显然成立;当 m≠0 时,??Δ=?-m?2+4m<0, 解得-4<m <0。 综上可知,实数 m 的取值范围是(-4,0]。 答案:(-4,0]

课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训

考点一

幂函数的图象及性质

【例 1】 (1)幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数 y=f(x)的图象是( )

A.

B

C.

D.

(2)当 0<x<1 时,f(x)=x1.1,g(x)=x0.9,h(x)=x-2 的大小关系是__________。 解析:(1)设幂函数的解析式为 y=xα,∵幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2),∴2=4α, 解得 α=12。 ∴y= x,其定义域为[0,+∞),且是增函数, 当 0<x<1 时,其图象在直线 y=x 的上方,对照选项,故选 C。 (2)如图所示为函数 f(x),g(x),h(x)在(0,1)上的图象,由此可知 h(x)>g(x)>f(x)。
答案:(1)C (2)h(x)>g(x)>f(x)

?名师点拨 幂函数的图象特征 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域, 即 x=1,y=1,y=x 分区域。根据 α<0,0<α<1,α=1,α>1 的取值确定位置后, 其余象限部分由奇偶性决定。 (2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性 进行比较。

通关特训 1 (1)已知幂函数 y=f(x)的图象过点???12, 22???,则 log4f(2)的值为(

)

1 A.4

B.-14

C.2

D.-2

1
(2)函数 y=x 3 的图象是( )

A.

B.

C.

D.

解析:(1)设 f(x)=xα,

1

1

由图象过点???12, 22???,得???12???α= 22=???12??? 2 ?α=12,log4f(2)=log42 2 =14,故选 A。

(2)显然 f(-x)=-f(x), 说明函数是奇函数,
1
同时由当 0<x<1 时,x 3 >x;
1
当 x>1 时,x 3 <x, 知只有 B 选项符合,故选 B。 答案:(1)A (2)B

考点二

求二次函数的解析式

【例 2】 已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和-2,且它有最小值-1。 (1)求 f(x)解析式;

解析:(1)由于 f(x)有两个零点 0 和-2, 所以可设 f(x)=ax(x+2)(a≠0)。 这时 f(x)=ax(x+2)=a(x+1)2-a, 由于 f(x)有最小值-1,

所以必有???-a>a0=,-1, 解得 a=1。 因此 f(x)的解析式是 f(x)=x(x+2)=x2+2x。

(2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称,求 g(x)解析式。
解析:(2)设点 P(x,y)是函数 g(x)图象上任一点,它关于原点对称的点 P′(-x, -y)必在 f(x)图象上,
所以-y=(-x)2+2(-x), 即-y=x2-2x,y=-x2+2x, 故 g(x)=-x2+2x。

?名师点拨 二次函数解析式的求法 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下: (1)已知三个点坐标,宜选用一般式; (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式; (3)已知图象与 x 轴两交点坐标,宜选用两根式。

通关特训 2 已知二次函数 f(x)同时满足条件: (1)f(1+x)=f(1-x); (2)f(x)的最大值为 15; (3)f(x)=0 的两根*方和等于 17。 求 f(x)的解析式。 解析:依条件, 设 f(x)=a(x-1)2+15 (a<0), 即 f(x)=ax2-2ax+a+15。 令 f(x)=0,即 ax2-2ax+a+15=0, ∴x1+x2=2,x1x2=1+1a5。 x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4-2???1+1a5???=2-3a0=17, ∴a=-2,∴f(x)=-2x2+4x+13。

考点三

二次函数的图象与性质的应用

【例 3】 (1)设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

(2)已知函数 f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8。设 H1(x)=

max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示 p,q 中的较大值,min{p,

q}表示 p,q 中的较小值)。记 H1(x)的最小值为 A,H2(x)的最大值为 B,则 A-B=( )

A.a2-2a-16

B.a2+2a-16

C.-16

D.16

(3)设函数 f(x)=1x,g(x)=-x2+bx,若 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且仅有 两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是( )
A.x1+x2>0,y1+y2>0 B.x1+x2>0,y1+y2<0 C.x1+x2<0,y1+y2>0 D.x1+x2<0,y1+y2<0
解析:(1)A 项,∵a<0,-2ba<0,∴b<0。 又∵abc>0,∴c>0,由图知 f(0)=c<0,故 A 错; B 项,∵a<0,-2ba>0,∴b>0, 又∵abc>0,∴c<0, 而 f(0)=c>0,故 B 错;

C 项,∵a>0,-2ba<0,∴b>0, 又∵abc>0,∴c>0,而 f(0)=c<0,故 C 错; D 项,∵a>0,-2ba>0,∴b<0, 又∵abc>0,∴c<0,由图知 f(0)=c<0,故选 D。

(2)f(x)=g(x),即 x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8,即 x2-2ax+a2-4=0, 解得 x=a+2 或 x=a-2。f(x)与 g(x)的图象如图。
由图及 H1(x)的定义知 H1(x)的最小值是 f(a+2),H2(x)的最大值为 g(a-2),A-B=f(a +2)-g(a-2)=(a+2)2-2(a+2)2+a2+(a-2)2-2(a-2)(a-2)+a2-8=-16。故选 C。
(3)由题意知满足条件的两函数图象如图所示,

作 B 关于原点对称点 B′(x2′,y2′),所以 x2+x2′=0,y2+y2′=0,由图可知, x1>x2′,y1<y2′,所以 x1+x2>0,y1+y2<0,故 B 正确。
答案:(1)D (2)C (3)B

?名师点拨 二次函数图象与性质问题的常见类型及解题策略 (1)图象识别问题。辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图 象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除。 (2)最值问题。画出函数图象,利用数形结合求解。 (3)与其他图象的公共点问题。解决此类问题的关键是正确作出二次函数及题目所 涉及的相应函数的图象,要注意其相对位置关系。

通关特训 3 (1)函数 y=ax2+a 与 y=ax(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是 ()

A.

B.

C.

D.

(2)如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,图象过点 A(-3,0),对称

轴为 x=-1。给出下面四个结论:

①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b。

其中正确的是( )

A.②④

B.①④

C.②③

D.①③

解析:(1)当 a>0 时,二次函数 y=ax2+a 的图象开口向上,且对称轴为 x=0, 顶点坐标为(0,a),故排除 A,C;当 a<0 时,二次函数 y=ax2+a 的图象开口向下, 且对称轴为 x=0 顶点坐标为(0,a),函数 y=ax的图象在第二、四象限,故排除 B,选 D。

(2)因为图象与 x 轴交于两点,所以 b2-4ac>0,即 b2>4ac,①正确;对称轴为 x=-1,即-2ba=-1,2a-b=0,②错误;结合图象,当 x=-1 时,y>0,即 a-b +c>0,③错误;由对称轴为 x=-1 知,b=2a。又函数图象开口向下,所以 a<0, 所以 5a<2a,即 5a<b,④正确。选 B。
答案:(1)D (2)B




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